Otázka: Derivace, integrace a diferenciální rovnice
Předmět: Biofyzika
Přidal(a): BobanCreed
Derivace a integrace
– Derivace fce v bodě x0
– Je dána fce spojitá v x0., pak limX→X0 f(x)-f(x0)/x-x0 se nazývá derivace fce f v bodě x0, značíme f’(x0).
– f’(x) = směrnici tečny v bodě x, tedy rce tečny je: y = f’(x)x+q
– Derivace fce
– Je dána fce f, která má derivaci v každém bodě, pak fci g(x) takovou, že pro každé x0 c D(f) platí g(x)=f”(x) nazýváme derivace fce f.
– derivace elementárních fcí viz sešit
– využití
– počítání změny veličiny za infinitezimální změnu jiné
– časové derivace = rychlosti
– diferenciální rovnice
– Neurčitý integrál (primitivní fce k fci f)
– fce F(x) taková, že F’(x) = f(x)
– Určitý integrál
– určitý integrál: ∫ba f(x)dx = plocha pod křivkou v intervalu <a,b>
– Newton-Leibnitzova věta: platí, že ∫ba f(x)dx = F(b)-F(a)
– primitivní fce k elementárním fcím viz sešit
– využití
– počítání ploch pod křivkou, obsahů, objemů těles omezených křivkami
– výpočet těžiště, momentů setrvačnosti, hybnosti, …
– výpočty z grafu
Diferenciální rovnice
– rovnice v nichž jako proměnné vystupují derivace funkcí
– ve fyzice hlavně získání analytického řešení (fce) pro danou rovnici => obecné závislosti
– řád rovnice = řád nejvyšší derivace
– počítání a odvozování vztahů, ve kterých se objevují derivace => např. časově změny, …
např. zákon radioaktivní přeměny
přeměnová konstanta udává relativní poměr rozpadlých jader za jednotku času
při t→0 dostáváme diferenciální rovnici
dN/dt = λN
separujeme proměnné
dN/N = λ/dt
můžeme integrovat rovnici
lnN = -λt + lnC
následné odlogaritmujeme
N=C*e-λ t
konstantu C určíme z podmínky že pro t=0 N=C=N0
N=N0*e-λ t
